LA CUESTIÓN NÚMEROS vs. CONJUNTOS

“Podemos definir el número psicológicamente como un arquetipo de orden que ha devenido consciente” (Jung)

“El número se encuentra en otro espacio, no en este espacio” (George Spencer Brown)

“Un conjunto es una agrupación en un todo de objetos distintos y definidos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento” (Cantor)

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El Problema y sus Enfoques
La cuestión de la naturaleza de los números y su relación con los conjuntos ha sido objeto de debate a la largo de la historia. ¿Un número es un conjunto, un tipo, clase o categoría de conjunto? ¿El concepto de número es independiente del concepto de conjunto? ¿El número es un concepto primario o es un concepto derivado del de conjunto?

Gottlob Frege −el fundador de la lógica moderna, el considerado mayor lógico desde Aristóteles, el precursor de la filosofía analítica del lenguaje y de la filosofía de las matemáticas− publicó en 1884 "Die Grundlagen der Arithmetik" (Los Fundamentos de la Aritmética), de subtítulo “Una investigación lógico-matemática sobre el concepto de número”, en donde expuso su programa logicista, es decir, el intento de fundamentar la matemática sobre la lógica. La aritmética debía seguir los principios de la lógica y no tener principios propios. Como la lógica tradicional no le bastaba para llevar a cabo esta tarea, se vio impulsado a crear una nueva lógica precisa, flexible y potente. Esta filosofía logicista inaugurada por Frege, fue continuada posteriormente por Russell.

Por lo tanto, según esta filosofía, el concepto de número tenía que ser un concepto lógico. Y como, según Frege, el concepto de conjunto era un concepto lógico, intentó fundamentar el concepto de número mediante el concepto de conjunto. Si lo lograba, el concepto de número sería analítico y a posteriori, una concepción contraria a la Kant, que consideraba que tanto la aritmética como la geometría eran sintéticas y a priori, pues están basadas en intuiciones puras del espacio y el tiempo.

Para Frege, la lógica trata de descubrir “las leyes de la verdad”, no las aserciones particulares de las verdades concretas. Y como todas las ciencias tienen a la verdad como objetivo, la lógica es el fundamento de todas las ciencias. Para Frege, las verdades son indefinibles y eternas; para encontrarlas hay que retroceder hasta lo lógicamente simple.

Frege definió el número a partir de:

1. Propiedad.
   Define propiedad como una función que produce como resultado un valor veritativo (verdadero o falso) para todo objeto que actúe como argumento. “Todo objeto o cae o no cae bajo una propiedad, el principio del tercero excluido, tertium non datur” [Frege, 1998]. Y define objeto como todo lo que no es una función. Propiedad y objeto son conceptos lógicos.
   
   
2. Extensión de una propiedad.
   Es el conjunto de objetos que caen bajo esa propiedad. Se suele denominar “clase”, pero no en el sentido de agregado o colección. Ejemplos: 1) la extensión del concepto “gato” es el conjunto de todos los gatos; 2) la extensión de la propiedad “negro” es el conjunto de todos los objetos negros; 3) la extensión de la propiedad “trinidad” es el conjunto de todos los conjuntos que tienen 3 elementos. Frege se inspiró en la idea de conjunto de Bolzano: un grupo de elementos que comparten una propiedad común.
   
   
3. La propiedad de equinumericidad en conjuntos. Una propiedad F es equinumérico con la propiedad de G cuando los objetos de la extensión de F pueden ser emparejados uno a uno entre sí de forma biunívoca con los objetos de la extensión de G. Los conjuntos que tienen esta propiedad lógica se consideran equivalentes.

A partir de estas 3 definiciones, Frege define un número natural como la extensión de los conjuntos que tienen la misma la propiedad de equinumericidad. Por ejemplo, el número 3 es un conjunto: el conjunto de todos los conjuntos de 3 elementos: 3 caballos, 3 paraguas, etc. La triedad es la propiedad común de todos esos conjuntos.

• El número 0 es la extensión de la propiedad que tienen los conjuntos que no son equivalentes a sí mismos. La extensión corresponde al conjunto vacío.
  
  
• El 1 es la extensión correspondiente a la propiedad de ser equivalente al conjunto que contiene el 0.
  
  
• El 2 es la extensión correspondiente a la propiedad de ser equivalente al conjunto que contiene el 0 y el 1.
  
  
• El 3 es la extensión correspondiente a la propiedad de ser equivalente al conjunto que contiene el 0, el 1 y el 2.
  
  
• En general, un número natural es la extensión correspondiente a la propiedad de ser equivalente al conjunto formado por todos los números anteriores.

Para Frege, los números no son atributos de las cosas físicas sino de los conceptos. Por ejemplo, si decimos que el sistema solar tiene 9 planetas, estamos relacionando conceptos. El número 9 es un atributo del concepto planeta. “La asignación de número es una aserción sobre un concepto”.

Frege se opuso al empirismo, al psicologismo y al formalismo:

• Frege hizo hincapié en los conceptos. Sus axiomas son conceptuales, empezando por el concepto de “propiedad”. No trató de reducir la aritmética a un sistema axiomático formal, pues se oponía al formalismo, es decir, a considerar la aritmética como un sistema formal no interpretado y los números como formas u objetos sin significado. Según Frege, un sistema formal confunde el signo con la cosa significada, lo que conduce al absurdo de de identificar los números con los numerales, los signos. Para Frege, los numerales son conceptos de segundo orden (conceptos de conceptos) que también pueden definirse en términos lógicos. Para Frege siempre hay un significado a toda expresión formal.
  
  
• Frege también se opuso al psicologismo, la idea de que los números (o los entes matemáticos en general) son contenidos mentales subjetivos. La matemática no está subordinada a la psicología, sino por encima de ella.
  
  Para Frege, las entidades lógicas son entidades reales, objetivas que moran en un “Tercer Mundo”. Es un mundo que está más allá del físico y el mental, un mundo abstracto, que es real, verdadero, eterno, no-sensible e invisible. Es un mundo arquetípico del que emerge el mundo físico y el psíquico. Es el mundo de donde de donde emergen todas las leyes. “Las leyes de la aritmética no son leyes de la naturaleza, sino leyes de las leyes de la naturaleza, esto es, principios fundamentales acerca de lo pensable”. Es una especie de reino platónico real, objetivo y eterno, donde viven las entidades matemáticas que tienen existencia propia, independientemente del mundo físico y mental.
  
  
• Frege rechazó la postura de filósofos como J.S. Mill, para quien las verdades aritméticas son verdades empíricas, basadas en la observación, meras abstracciones de las propiedades de los objetos físicos, y que la aritmética se fundamenta en la inducción de hechos relativos a agrupaciones de objetos físicos.

En sus últimos años, tras su jubilación en Jena, en 1918, Frege admitió su completo fracaso en su intento de clarificar la naturaleza del número, renunciando incluso a su idea fundamental de que los números eran conjuntos. Y, por tanto, abandonando su creencia en que la aritmética derivaba de la lógica.

Su renuncia al programa logicista fue sustituido por su convicción de que la matemática era propiamente geometría y que, por lo tanto, la aritmética derivaba de la geometría. Volvía así a la posición kantiana que había combatido en “Los Fundamentos de la Aritmética”: los números están basados en la intuición y la aritmética es sintética y a priori. Establecía así una analogía entre los números y los objetos geométricos. Para Frege, el número es análogo a una especie de entidad geométrica o figura construida a base de puntos agrupados y organizados en el espacio. El punto es la unidad y la ausencia de puntos es el cero. De la geometría emergen las formas, incluidos los números.

En este sentido, Frege adoptó una filosofía próxima a la platónica sobre la geometría. Tres frases que ilustran la filosofía de Platón sobre la geometría son: “La geometría es la llave para desentrañar los misterios del universo”, “La geometría es el conocimiento de lo eternamente existente”, “La geometría existía antes de la creación”.


John von Neumann

John von Neumann −que hizo contribuciones a la teoría axiomática de conjuntos− simplificó y formalizó el procedimiento de Frege. Definió los números naturales directamente como conjuntos “puros” de la manera recursiva siguiente:

• El 0 es el conjunto vacío:
  0 = {} = ∅
  
  
• El 1 es el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, es decir, el formado por el 0:
  1 = {0}
  
  
• El 2 es el conjunto formado por el 0 y el 1:
  2 = {0, 1}
  
  
• El 3 es el conjunto formado por el 0, el 1 y el 2:
  3 = {0, 1, 2}
  
  
• En general, n = {0,1,...,n−1}. Un número se define como el conjunto formado por los números anteriores.

Es decir, todo conjunto es un conjunto de otros conjuntos, y todos los conjuntos se construyen a partir del conjunto vacío.


Peano

Los famosos axiomas de Peano de la aritmética, publicados en 1889 en “Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita”, no apelan a la noción de conjunto:

• 1 es un número natural.
• El sucesor de cualquier número es un número.
• El 1 no es el sucesor de ningún número.
• No hay dos números que tengan el mismo sucesor.
• Toda propiedad que tenga el 1 y el sucesor de cualquier número la tienen todos los números. Este es el axioma de inducción.

John Conway

John Conway invento (o descubrió) los números surreales, un sistema numérico universal, pues no solo puede generar los números naturales, sino toda clase de números, incluyendo los racionales, los irracionales, los infinitesimales, los infinitos, los transfinitos y los hiperreales, así como operar con ellos.

Como hicieron Frege y von Neumann, los definió también a partir del conjunto vacío. El sistema de Conway se basa en un conjunto dividido en dos partes, simbolizado por {x|y}, pero formalmente se trata de una secuencia de dos conjuntos. El número 0 se define a partir del conjunto vacío como {∅|∅}, y a partir del cual se generan todos los números. [ver Aplicaciones – Matemáticas – Números Surreales.]


La Solución: Números y Conjuntos son Arquetipos Primarios Independientes

Frente a las posiciones logicista (Frege) y formalista (von Neumann, Peano y Conway), en MENTAL número y conjunto son arquetipos primarios diferentes. Son dos dimensiones de la realidad profunda que se manifiestan a nivel interno (mental) y externo (físico).

• El número es un arquetipo primario, como sostenían Jung y Pauli. El conjunto es también un arquetipo, que es diferente del de número. Agrupar (cuyo resultado es un conjunto) no es lo mismo que contar (cuyo resultado es un número). Los conjuntos se unen y los números se suman.
  
  
• De los arquetipos solo podemos ver sus manifestaciones. Toda instancia particular de un arquetipo nos conectan con dicho arquetipo.
  
  
• Número y conjunto, como arquetipos de la conciencia que son, son inexpresables, es decir, no pueden explicarse (sacarlos a la superficie) porque pertenecen a un nivel profundo. Los números y los conjuntos están ligados a la intuición.
  
  
• Los arquetipos son a priori (previo a la experiencia), profundos, trascendentes, intuitivos, sintéticos, invisibles e inaccesibles. Sus manifestaciones concretas son a posteriori (ligados a la experiencia), superficiales, inmanentes, analíticos, visibles y accesibles, pues están en los objetos del mundo real. Unen así las posiciones intuicionista y formalista. Por ejemplo, nadie ha “visto” el número 3, por ejemplo. Podemos ver el símbolo puro que conecta lo superficial con lo profundo. El símbolo de un número reifica el concepto intuitivo de ese número.
  
  
• Los conjuntos no son conceptos lógicos. La lógica es una dimensión de la realidad que se basa en un solo arquetipo primario (Condición), y que se manifiesta como deducción o decisión, según vaya acompañado o no de una expresión genérica, respectivamente. Pero hay más arquetipos primarios.
  
  
• Las definiciones de Frege y von Neumann tienen el mérito de construir los números a partir casi de la nada, pues el conjunto vacío es lo más cercano a la nada en matemáticas. El conjunto vacío (el conjunto que no contiene ningún elemento) no es lo mismo que la nada, porque su clase de existencia es la misma que la de cualquier conjunto. Es el único conjunto que carece de elementos y el único que es subconjunto de todo conjunto.
  
  Esta idea de una creación a partir de nada es natural en la metafísica hindú, donde se considera que toda la realidad ha sido desplegada a partir de un bindu, un punto, es decir, una entidad geométrica sin extensión, es decir prácticamente nada. La nada se identifica también con la conciencia pura, no manifestada.
  
  En MENTAL, la nada está representada por la metaexpresión nula θ y es el contenido del conjunto vacío:
  ({}↓ = θ).
  
  
• Los números no son conjuntos. No obstante, los conjuntos construidos por Von Neumann a partir del conjunto vacío sirven como conjuntos primigenios, paradigmáticos o representativos de la cardinalidad de los conjuntos:
  
  
  ∅# = 0
{∅}# = 1
{∅,{∅}}# = 2
{∅,{∅},{∅,{∅}}}# = 3
. . .
  
  
• Números y conjuntos están muy relacionados. Un conjunto tiene cardinalidad (número de elementos). Y una secuencia, además de tener también cardinalidad, cada uno de sus componentes tiene un número de orden: desde 1 hasta el número de elementos. Por ejemplo,
  
  
  x=(a b)
x# // ev. 2
x\1 // ev. a
x\2 // ev. b
  
  
• Los números surgen de los conjuntos cuando hacemos abstracción de sus contenidos y consideramos sus componentes como individualidades equivalentes. Un número es una propiedad de un conjunto abstracto, una forma. Pero los números no son conjuntos ni se pueden expresar en términos de conjuntos.
  
  
• El número es una abstracción tan poderosa que se constituye una entidad, dimensión o arquetipo independiente. A este poder contribuyó de manera decisiva la reificación (representación) de los números en forma de un conjunto finito de símbolos y la notación posicional, un sistema de representación recursivo que permite representar cualquier número mediante una secuencia a partir de 10 categorías ó clases de números (los representados por los dígitos del 0 al 9).
  
  
• El número es un arquetipo y se manifiesta de muchas formas. Puede aparecer en forma pura o formando parte de una expresión como p.e. una secuencia, una propiedad, una cantidad, etc. Una cantidad es un número de veces una unidad, en donde la unidad puede ser cualquier expresión, p.e. 3*{a b c}, 3*manzana, etc.
  
  MENTAL contempla la aritmética abstracta (basada en números) y la aritmética concreta basada en cantidades de objetos, p.e.
  
  (3*manzana + 2*manzana) // ev. 5*manzana

(n1*manzana + n2*manzana) // ev. (n1+n2)*manzana
  
  
• Frege utilizó una relación de equivalencia que hace que todos los conjuntos se dividan en clases de equivalencia. Los números 0, 1, 2, etc. son los representantes de esas clases. Cada clase corresponde a un número. Cuando Frege habla de extensión se está refiriendo en realidad a una clase de equivalencia. Cada clase n es el conjunto de los conjuntos que tienen n elementos. Por lo tanto, los números sirven para clasificar el conjunto de todos los conjuntos.
  
  
• El Tercer Mundo de Frege es el mundo de las expresiones lógicas, y equivaldría al mundo de las expresiones de MENTAL, que son las manifestaciones de los arquetipos.
  
  
• Para Frege, la matemática y la realidad tiene un fundamento lógico. Pero la esencia de la realidad (interna y externa) no es exclusivamente lógica; es arquetípica. La lógica es solo una dimensión-arquetipo de la realidad.
  
  
• La “extensión de un concepto” de Frege es una simplificación, pues en la realidad hay propiedades difusas o subjetivas como alto, bajo, rico, pobre, etc. Por lo tanto, la pertenencia a la extensión es también difusa. Y un concepto no se puede formalizar como una función que toma solo dos valores (V o F), sino en general f*V, siendo f un número real entre 0 y 1, con 0*V = F) y (1*V = V).

Los axiomas de Peano en MENTAL

Los axiomas de Peano constituyeron un intento de formalizar los números naturales. Pero −como ocurre con todo sistema formal− no logra capturar la esencia del concepto de número, y además se apoya en el concepto de “siguiente” que no define y que admite muchas interpretaciones (espacial, temporal, etc.).

Los axiomas de Peano expresados en MENTAL son:

1. 1/num // 1 es un número
   
   
2. ⟨( n/num → suc(n)/num )⟩ // el sucesor de un número es un número
   
   
3. ( {⟨( n ← (n = suc(1)) )⟩} = ∅) // el 1 no es sucesor de ningún nro.
   
   
4. ⟨( (suc(n1) = suc(n2)) → n1=n2 )⟩ // no hay dos números con mismo sucesor
   
   
5. ⟨( ⟨( 1/p ∧ ( n/p → suc(n)/p )⟩ → n/p )⟩ // axioma de inducción

Se suponen las relaciones siguientes:

⟨( n/num ↔ n∈N )⟩ // si n es un número, pertenece a N

N = {⟨( n ← n/num )⟩} // N es el conjunto de los números naturales

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Bibliografía

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• Conway, John Horton. The Book of Numbers. Springer, 1995.
  
  
• Dantzig, Tobias. Number. The Language of Science. Pi Press, 2005.
  
  
• Frege, Gottlob. Conceptografía. Los Fundamentos de la Aritmética, Otros Estudios Filosóficos. UNAM (Universidad Nacional Autónoma de Mexico), 1972. Disponible en Internet.
  
  
• Frege, Gottlob. Escritos filosóficos. Crítica, 1996. (Incluye Los Fundamentos de la Aritmética.)
  
  
• Frege, Gottlob. Ensayos de semántica y filosofía de la lógica. Tecnos, 1998.
  
  
• Gardner, Martin. Festival mágico-matemático. Cap. I: Nada. Alianza, 1994.
  
  
• Hawking. Dios creó los números. Los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia. Crítica, 2010.
  
  
• Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras. Espasa Libros, 2002.
  
  
• Israel, Giorgio; Millán Gasca, Ana. El mundo como un juego matemático. John von Neumann, un científico del siglo XX. Nivola, 2001.
  
  
• Kenny, Anthony. Introducción a Frege. Cátedra, 1997.
  
  
• Mosterím, Jesús. Los lógicos. Espasa Libros, 2007.
  
  
• Penrose, John. El camino a la realidad. Una guía completa de las leyes del universo. Debate, 2006.
  
  
• Penrose, John. La nueva mente del emperador. Grijalbo, 1996.